10.7 KB · ⇊ 3 parts · ⤓ Micron 10.7 KB · ⤓ HTML 69.6 KB

top

In mwdqmatematica, la mwdgcontroimmagine di un sottoinsieme del mwdwcodominio di una mweafunzione, anche detta mweqimmagine inversa, mwegfibra, mwewantiimmagine, mwfaretroimmagine o mwfqpreimmagine, è l'insieme degli elementi del dominio che la funzione associa a tale sottoinsieme. Si tratta quindi di un sottoinsieme del dominio della funzione.

• Definizione

• Proprietà

• Esempi

• Note

• Bibliografia

• Voci correlate

• Collegamenti esterni

Data una mwgqfunzione mwgg f : : A → → B {\displaystyle f\colon A\to B} , la controimmagine di un mwgwinsieme mwha B 1 ⊆ ⊆ B {\displaystyle B_{1}\subseteq B} tramite mwhq f {\displaystyle f} è un mwhgsottoinsieme di mwhw A {\displaystyle A} , indicato con mwia f − − 1 ( B 1 ) {\displaystyle f^{-1}(B_{1})} cite-ref-1[1] tale che mwjq a {\displaystyle a} appartiene a mwjg f − − 1 ( B 1 ) {\displaystyle f^{-1}(B_{1})} se e solo se mwjw f ( a ) {\displaystyle f(a)} appartiene a mwka B 1 {\displaystyle B_{1}} . In modo equivalente:

mwkw f − − 1 ( B 1 ) := { a ∈ ∈ A | f ( a ) ∈ ∈ B 1 } ⊆ ⊆ A . {\displaystyle f^{-1}(B_{1}):=\left\{a\in A\left|\right.f(a)\in B_{1}\right\}\subseteq A.}

Talvolta si considera il seguente insieme, chiamato mwlqfibra di mwlg b {\displaystyle b} , la cui notazione è leggermente impropria:

mwmq f − − 1 ( b ) := { a ∈ ∈ A | f ( a ) = b } ⊆ ⊆ A . {\displaystyle f^{-1}(b):=\left\{a\in A\left|\right.f(a)=b\right\}\subseteq A.}

Tali insiemi, che dovrebbero essere più propriamente indicati mwmw f − − 1 ( { b } ) {\displaystyle f^{-1}(\{b\})} , sono di particolare importanza quando le funzioni coinvolte sono mwnafunzioni reali; in questo caso vengono anche detti mwnqinsiemi di livello o curve di livello. In mwngtopologia, invece, si chiamano fibre.

Considerata una funzione mwoq f : : A → → B {\displaystyle f\colon A\to B} , valgono le seguenti proprietà:

• mwpa f − − 1 ( I m f ) = f − − 1 ( f ( A ) ) = A . {\displaystyle f^{-1}\left(\mathrm {Im} \,f\right)=f^{-1}{\big (}f(A){\big )}=A.}

• Se mwpw B 1 ⊆ ⊆ B 2 ⊆ ⊆ B {\displaystyle B_{1}\subseteq B_{2}\subseteq B} , allora mwqa f − − 1 ( B 1 ) ⊆ ⊆ f − − 1 ( B 2 ) ⊆ ⊆ A . {\displaystyle f^{-1}(B_{1})\subseteq f^{-1}(B_{2})\subseteq A.}

In mwqg B 2 {\displaystyle B_{2}} potrebbe esserci un elemento mwqw b {\displaystyle b} che appartiene all'immagine di mwra f {\displaystyle f} ma non a mwrq B 1 {\displaystyle B_{1}} .

• La controimmagine dell'mwsaunione di due insiemi è l'unione delle due controimmagini. In simboli: mwsq f − − 1 ( B 1 ∪ ∪ B 2 ) = f − − 1 ( B 1 ) ∪ ∪ f − − 1 ( B 2 ) . {\displaystyle f^{-1}(B_{1}\cup B_{2})=f^{-1}(B_{1})\cup f^{-1}(B_{2}).}

• In generale: mwta f − − 1 ( ⋃ ⋃ i B i ) = ⋃ ⋃ i f − − 1 ( B i ) . {\displaystyle f^{-1}\left(\bigcup _{i}B_{i}\right)=\bigcup _{i}f^{-1}(B_{i}).}

• La controimmagine dell'mwtwintersezione di due insiemi è l'intersezione delle due controimmagini. In simboli: mwua f − − 1 ( B 1 ∩ ∩ B 2 ) = f − − 1 ( B 1 ) ∩ ∩ f − − 1 ( B 2 ) . {\displaystyle f^{-1}(B_{1}\cap B_{2})=f^{-1}(B_{1})\cap f^{-1}(B_{2}).} cite-ref-2[2]

• In generale: mwvw f − − 1 ( ⋂ ⋂ i B i ) = ⋂ ⋂ i f − − 1 ( B i ) . {\displaystyle f^{-1}\left(\bigcap _{i}B_{i}\right)=\bigcap _{i}f^{-1}(B_{i}).}

• La controimmagine della mwwgdifferenza di due insiemi è la differenza delle due controimmagini. In simboli: mwww f − − 1 ( B 1 ∖ ∖ B 2 ) = f − − 1 ( B 1 ) ∖ ∖ f − − 1 ( B 2 ) . {\displaystyle f^{-1}\left(B_{1}\setminus B_{2}\right)=f^{-1}(B_{1})\setminus f^{-1}(B_{2}).}

• Per ogni mwxg A 1 ⊆ ⊆ A {\displaystyle A_{1}\subseteq A} sottoinsieme del mwxwdominio, allora mwya A 1 ⊆ ⊆ f − − 1 ( f ( A 1 ) ) {\displaystyle A_{1}\subseteq f^{-1}{\big (}f(A_{1}){\big )}} e l'uguaglianza vale sempre se e solo se la funzione mwyq f {\displaystyle f} è mwyginiettiva.

Potrebbero esserci elementi del dominio che non stanno in mwza A 1 {\displaystyle A_{1}} ma che hanno la stessa immagine di un elemento in mwzq A 1 {\displaystyle A_{1}} . Ovviamente se mwzg f {\displaystyle f} è iniettiva questo non può succedere.

• Per ogni mwaq B 1 ⊆ ⊆ B {\displaystyle B_{1}\subseteq B} sottoinsieme del mwagcodominio, allora mwaw f ( f − − 1 ( B 1 ) ) ⊆ ⊆ B 1 {\displaystyle f{\big (}f^{-1}(B_{1}){\big )}\subseteq B_{1}} e l'uguaglianza vale sempre se e solo se la funzione mwba f {\displaystyle f} è mwbqsuriettiva.

Potrebbero esserci elementi in mwbw B 1 {\displaystyle B_{1}} che non appartengono all'immagine di mwca f {\displaystyle f} . Se però mwcq f {\displaystyle f} è suriettiva questo non accade.

• Se mwda g : : B → → C {\displaystyle g\colon B\to C} ; e mwdq C 1 ⊆ ⊆ C , {\displaystyle C_{1}\subseteq C,} mwdg allora mwdw ( g ∘ ∘ f ) − − 1 ( C 1 ) = f − − 1 ( g − − 1 ( C 1 ) ) . {\displaystyle \left(g\circ f\right)^{-1}(C_{1})=f^{-1}\left(g^{-1}(C_{1})\right).}

Sia mweg f : : R → → R {\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} } tale che mwew x ↦ ↦ x 2 {\displaystyle x\mapsto x^{2}} . Allora mwfa f − − 1 ( [ 1 , 4 ] ) = [ − − 2 , − − 1 ] ∪ ∪ [ 1 , 2 ] . {\displaystyle f^{-1}([1,4])=[-2,-1]\cup [1,2].}

cite-note-11. ↑ L'uso di tale scrittura comporta un lieve mwgwabuso di notazione, in quanto è la stessa utilizzata per la mwhafunzione inversa, che agisce su mwhqelementi e non su insiemi.

cite-note-22. ↑ Questa proprietà e la precedente caratterizzano mwiqmwigmwiw mwja mwjq mwjg mwjw mwkaf mwkq mwkg− − mwkw1 mwla{\displaystyle f^{-1}} come un mwlgomomorfismo di mwlwreticoli.

• Marco Abate e Chiara de Fabritiis. mwmwGeometria analitica con elementi di algebra lineare. Milano, McGraw-Hill, 2006. ISBN 8838662894.

• Giulio Campanella. mwngAppunti di algebra. Roma, Nuova Cultura, 2005. ISBN 8889362227.

• mwowImmagine (matematica)

• mwpqFunzione composta

• mwpwFunzione inversa

• citerefdizionario-delle-scienze-fisicheControimmagine, in Dizionario delle scienze fisiche, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 1996.

• citerefenciclopedia-della-matematica-2013Controimmagine, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.

• citerefenciclopedia-della-matematica-2013Antimmagine, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.

• citerefmathworld(EN) Eric W. Weisstein, Pre-Image, su MathWorld, Wolfram Research.